Số phức và các dạng toán về số phức là trong số những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng kha khá trừu tượng với khá cạnh tranh hiểu, một phần nguyên nhân là họ đã quá quen cùng với số thực trong số những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Các dạng bài số phức


Vì vậy, ở bài viết này banvethicong.com.vn sẽ khối hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn biện pháp giải những dạng bài bác tập này. Trước lúc bắt tay vào giải những dạng bài bác tập số phức, chúng ta cũng nên nhớ những nội dung về kim chỉ nan số phức.


I. Kim chỉ nan về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập phù hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị chức năng ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bởi 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bởi nhau: 

*
*

2. Màn trình diễn hình học tập của số phức

- Số phức: , (được màn trình diễn bởi điểm M(a,b) tốt bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- mang đến 2 số phức: , khi đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- cho 2 số phức: , lúc đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang lại số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 bao gồm đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- mang đến phương trình bậc 2 số phức bao gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức mang lại trước, A≠0).

- khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là một trong acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân tách số phức bên dưới dạng lượng giác

- cho z = r(cosφ + isinφ) và z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Bí quyết Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• đến z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm n căn bậc n là:

 

*
*

II. Những dạng toán về Số phức và phương pháp giải

Dạng 1: các phép tính về số phức

* cách thức giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ quá và đặc điểm phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi đo lường và thống kê các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng giỏi hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: cho số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng trước tiên của 1 cấp cho số nhân với số hạng trước tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- trường đoản cú giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép chuyển đổi để giải quyết bài toán.

° lấy ví dụ như 1: tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức đề xuất tìm là 1 + i1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: xác định phần thực phần ảo, tìm kiếm đối số, nghịch hòn đảo module, liên hợp của số phức và màn trình diễn hình học tập của số phức

* phương pháp giải: Dạng này chia thành nhiều loại bài bác toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ một số loại 1: tìm phần thực phần ảo của số phức

- bí quyết giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đang cho bao gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức sẽ cho tất cả phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho tất cả phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho tất cả phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ một số loại 2: trình diễn hình học tập của số phức

- giải pháp giải: sử dụng điểm M(a;b) trình diễn số phức z cùng bề mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được màn trình diễn bởi điểm nào trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là trình diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức như thế nào có biểu diễn hình học tập là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ một số loại 3: Tính Module của số phức

- cách giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: tra cứu mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- bao gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z vừa lòng

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ các loại 4: tìm kiếm số đối của số phức

- giải pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ một số loại 5: search số phức liên hợp của số phức z

- phương pháp giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức phối hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

Xem thêm: Tác Dụng Của Nhung Hươu Ngâm Rượu, Nhung Hươu Là Gì

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- lúc đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ loại 6: tra cứu số phức nghịch đảo của số phức

- bí quyết giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- bí quyết giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x cùng y sao để cho z = x + yi thỏa mãn nhu cầu z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn đk cho trước.

* phương pháp giải:

♦ một số loại 1: Số phức z chấp thuận về độ lâu năm (module) khi đó ta thực hiện công thức 

♦ loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), lúc đó ta áp dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 cùng b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hợp điểm M màn trình diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài xích ra,

 

*

- cùng với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) hotline N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy nhiên với Ox

- Vậy quỹ tích của M là con đường thẳng qua N và tuy vậy song cùng với Ox, sẽ là đường trực tiếp y = -3.

c) điện thoại tư vấn I là điểm biểu diễn của số phức 

*

- lúc đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là con đường tròn trung khu I(1;-2) nửa đường kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh những biểu thức về số phức

* phương thức giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Triệu chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, cùng với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 với z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- khía cạnh khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- tự (1) cùng (2) gồm VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức cùng phương trình bậc 2

* phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được điện thoại tư vấn là căn bậc 2 của số phức z ví như w2 = z xuất xắc (x + yi)2 = a + bi.

- lưu giữ ý:

♦ lúc b = 0 thì z = a, ta gồm 2 trường hợp đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, xuất xắc x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình tất cả dạng: az2 + bz + c = 0, trong số ấy a, b, c là những số phức a≠0

- phương pháp giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình bao gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: hotline z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên gồm 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, kiếm tìm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- hotline m=a+bi cùng với a,b∈R.

- Theo bài xích toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta tất cả hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đang cho bao gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và mang lại phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- dấn thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương trình phải chia 2 vế mang đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- cùng với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) bao gồm 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải những phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận thấy z=0 chưa phải là nghiệm của phương trình phải chia 2 vế pt mang đến z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, khi đó pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai số phận phức, phương pháp Euler.

- cách làm 1: 

*

- cách làm 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được điện thoại tư vấn là argument của z cam kết hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ quá ta tất cả phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết những số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình sẽ cho có 2 nghiệm: 

*

- khía cạnh khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- bởi vì z=-1 chưa phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không sở hữu và nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đã cho gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* phương pháp giải: Vận dụng kiến thức tìm rất trị

° lấy ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z gồm modul bé dại nhất.

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Do vậy các điểm M màn trình diễn số phức z thoả mãn việc nằm trên phố tròn trung khu I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá bán trị bé dại nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Lúc đó M là giao điểm của (C) và mặt đường thẳng OI, với M là giao điểm ngay sát O rộng và 

*